長線短線，千線萬線，不如一條內線？
凱利(John Larry Kelly, Jr.)這麼形容他的理論：「擁有私人內線的賭徒」，有助提前獲知棒球賽與賽馬的結果。線報未必百分之百準確，卻足以造成賭客優勢。賭客可以在未經秘密情報調整過的賭盤下注於「有利」的賠率，而凱利的問題是，賭客該如何利用資訊。
這可不如你想像的不用花腦筋。舉個極端的例子來說，貪心的賭客可能根據內線，想要把所有資金賭在一匹馬。下注越多，贏得越多。
這種作法的缺點是線報未必準確，遲早總有一匹內線看好的馬會輸掉。一旦線報有誤，賭客就有輸到一文不名的風險。
反過來的策略也不好。膽小的賭客可能把小錢分散賭在每個線報，免得因為誤報而輸掉太多錢。但是下注少，贏得也少，浪費了線報帶給他的優勢。
賭徒該怎麼辦？如何讓線報的作用發揮到最大，又不致於破產？
……凱利認為賭徒應該像股市或債券投資人，關注的是「綜合報酬率」。賭徒衡量成功的指標不是賺了幾塊錢，而是每次賭博的報酬率。最佳策略既能提供穩定的綜合報酬率，又能避免破產。
股市或債券投資人的最佳策略要能提供穩定的綜合報酬率，並能避免破產。
凱利把夏農(Claude Elwood Shannon)那套通訊管道雜訊理論的數學應用在貪婪卻謹慎的賭徒身上。如同在某個頻寬內傳送訊息可接近正確無誤，賭徒以特定的最大比率累積財富，而且不會破產，也是有可能做到的。夏農理論的兩全其美特性也能應用在賭博上。
跨學科應用的另一個例子。:P
凱利分析了按注分彩法的賭博方式。在美國與許多亞洲賽馬場，賠率是賭客自己造成的。賽馬場統計賭贏比賽的人數，扣除賽馬場的費用與稅金，再把剩下的錢分配給幸運中獎的賭客。
賭客的報酬多寡，要看將多少錢賭在獲勝馬匹而定，假設賽馬場不抽頭，會是比較容易解釋的情況。假如將六分之一的錢賭在賽馬A上，牠也贏了，每個賭牠贏的賭客皆可拿回六倍的賭資。以傳統賠率方式表達，就是「A/五賠一」，表示下注10元的人可以多拿到50元的利潤，外加原本的賭資10元（總共60元）。
凱利描述了一個有內線的賭客下注的簡單方式。這只在賽馬場不抽頭（世上可沒有這種事！）或內線非常可靠的情況下最實用。策略就是在每一場比賽中，把所有錢根據內線對每匹馬的獲勝機率分散下注。
也就是說，每匹參賽的馬兒都下注，總有一匹會跑贏，所以每場都有一注會贏，你永遠不會破產。
怪的是，這也是增加財富的最快方式。大多數人不太相信，像輪盤就不可能押在每個號碼還能發財。
輪盤不適用的原因，請參閱「看日劇詐欺遊戲Liar Game談賭場的賺錢之道」。也就是說，你必須能夠下注在每一種可能發生的情況。以股市來說，你可以同時作多跟放空。
……請看看公佈的賠率表，那就是沒有內線消息的可憐蟲們的總體信念。如果你根據賠率下注，每次都會贏回原本的錢（再次假設賭場不抽頭）。假設B的賠率是二賠一，可知道大眾相信牠有三分之一的勝算，你就把三分之一財產賭在B身上。如果牠贏了，你就拿回三倍賭資，亦即原本的全部財產。不管勝算多寡，同樣的法則適用於所有馬匹。
但是凱利假設的賭客才不管公開的賠率，因為內線已經提供他每匹馬真正、而且比較精確的獲勝機率。他會根據精確的勝算分散下注。
以最清楚的例子來說，某內線人士說C贏定了，根據你的經驗，該內線的消息一向很準確。你確信C的勝率有百分之百，其他馬匹的勝率是零，那你該這樣分配錢：把所有錢賭在C上，其他馬匹一毛也不賭。如果C贏了，你就可以贏得賠率表上的利潤。這顯然是靠百分之百正確內線獲利的最佳方式。
凱利（與夏農）的系統較常用來處理不確定性。在現實世界中，沒有任何事是確定的。內線也可能錯誤或故意欺瞞，線路也可能有雜訊，你不確定聽到的是否正確。內線也有可能只提供機率，像天氣預報一樣，你或許必須自行解讀對方提供的情報涵意（例如「某匹馬沒吃早餐。」）
人算不如天算，小心黑天鵝。
夏農的嘈雜管道理論提出一個稱作「模稜equivocation」的量，這是測量含糊事物的單位。若是不可靠的消息來源（假設你選擇把該來源當做通訊管道），模稜可能源自於諧音字、筆誤、故意含糊、錯誤、閃避或謊言。模稜描述收到訊息的錯誤機率。夏農指出，你必須扣除管道容量中的模稜狀況，才能獲得資訊率。
凱利假設的賭徒也必須考慮到模稜。他根據最佳線報，對機率作出估計後下注。當你相信D有24％的獲勝機率，就該把24％的資金賭在牠身上，此方法後來被稱作「賭你的信念betting your beliefs」。
長期而言，「賭你的信念」會為你帶來最大限度的綜合報酬率──前提是你的機率估算比一般大眾精確。
你可能還在懷疑，為何不乾脆賭最有可能獲勝的馬就好？答案是，勝算最大的馬也可能輸。假設你有非常精確的內線，認為D有99％的獲勝機率，你下注百分之九十九的錢，但保留百分之一的錢在口袋裡。
D仍有百分之一輸掉的機率。萬一發生這個情況，你的口袋會僅剩零頭，你必須準確地把零頭分散下注在其他馬匹。這麼一來，你總會贏點錢，甚至贏很多。賭在你認為會輸的馬兒上，是寶貴的「保險措施」。當罕見的災禍發生，你會慶幸自己有買保險。
屋漏定逢連夜雨，唉！
「賭你的信念」有一種浪漫的優雅，你要扮演快樂的傻瓜，無視賠率表的數字，根據自己的信念賭在每一匹馬身上。沒有比這更單純容易的事了。這是投資報酬率最高的辦法。
比照不浪漫的人會注意到，「賭你的信念」在真正的賽馬場上沒什麼用。美國賽馬場通常會抽頭，比例是所有賭資的百分之十四到十九，日本則高達25％。也就是說，把所有資金賭在每場比賽的人，每次比賽就要付出百分之十四到廿五給賽馬場，你需要非常精確的情報才能彌補過來。
凱利又為同樣的系統描述了一個比較實用的替代版本。筆者稍微修改了凱利在1965年文章中的方程式，會比較容易記，可以運用在許多形式的賭博上，也就是現代賭徒所謂的「凱利方程式」（Kelly formula、Kelly criterion、Kelly strategy、Kelly bet）
凱利方程式認為，你應該投資以下比例的資金在有利的賭注上：收益率/賠率。
「收益率」是假設你以同樣的機率下注時，希望的平均賭贏機率。這只是賭賽的一部分，因為利潤要看你下注的比例而定。
「賠率」表示公開的、賠率表上的賠率，用來衡量你獲勝之後的利潤。如果賠率是八賠一，表示你賭贏了，便能拿到八倍利潤加上原本的賭資。
在凱利方程式中，賠率未必是估算機率的好方法。賠率是市場力量決定的，根據每一個人認定的獲勝機率而來。這個看法有可能錯誤。其實，以凱利方程式的邏輯來看，上述看法一定得是錯誤的，這樣玩家才有優勢。檯面賠率跟凱利賭徒的線報完全無關。
舉例：賠率表顯示賽馬D的賠率是五賠一，凱利方程式中的「賠率」就是五。
你根據內線情報認為D其實有三分之一的勝算，那麼下注牠100元，你有三分之一的機會拿回600元。平均而言，這個情報價值200元，淨獲利100元。凱利方程式中的「收益率」就是1（100元的利潤除以100元的賭資）。
根據凱利方程式，收益率/賠率是1/5，表示你應該把五分之一的本錢下注在D。
有兩點觀察可以解釋此策略：首先，當你沒有內線時，收益率是零或負數。你沒有內線消息的話，就不知道其他人也不知道的事。你的收益率是零（事實上扣掉賽馬場抽頭後是負數）。收益率是零的話，根據凱利方程式，賭資也是零，根本不該下注。
作弊的比賽中，收益率等於賠率。內線能提供的最有價值情報就是某一場比賽有人作弊，某匹馬一定會贏。你能從中獲利多少，要看賠率而定。如果穩贏的馬匹賠率很高比較有利，例如三十賠一，100元賭資就能帶來3000元利潤。如果這匹馬穩贏，你的收益率跟公開的賠率相同（30），凱利方程式顯示30/30，你就該把所有錢都拿去賭。
除非你懷疑安排作弊的人並非完全可靠。「模稜」會減損你估計的收一律，所以應該酌減賭資。（《天才數學家的秘密賭局Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street》頁73）
麥可．莫布新(Michael J. Mauboussin)在《再想一下：好決策的關鍵思考術Think Twice: Harnessing the Power of Counterintuition》建議，考慮各種事態的發生機率，而非單純的會發生跟不會發生，有益於作出良好的決策。
《天才數學家的秘密賭局Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street》讀完的時間比《魔球投資學》早，不過這一本也在《魔球投資學》的延伸閱讀書單中。
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